第1回 数学問題チャレンジ 解答

一年生用問題

問題1

次の式を因数分解せよ。

adg^2+beg^2+afg^2+cfg^2+cdg^2+aeg^2+bfg^2+ceg^2+bdg^2

(解答)

adg^2+beg^2+afg^2+cfg^2+cdg^2+aeg^2+bfg^2+ceg^2+bdg^2

=(ad+be+af+cf+cd+ae+bf+ce+bd)g^2

={(d+e+f)a+(d+e+f)b+(d+e+f)c}g^2

=(a+b+c)(d+e+f)g^2

問題2

集合:U=\{1,2,3,\cdots,2001 \} とする。

(1)Uの要素の中に4の倍数の自然数はいくつ存在するか。

(解答)

2001\div 4=500 あまり 1

よって、500個

 

(2)Uの要素の中に3の倍数の自然数はいくつ存在するか。

(解答)

2001\div 3=667 

よって、667個

 

(3)Uの要素の中に5の倍数の自然数はいくつ存在するか。

(解答)

2001\div 5=400 あまり 1

よって、400個

 

(4)Uの要素の中に、3または4の倍数であって5の倍数ではない自然数はいくつ存在するか。

(解答)

(3または4の倍数であって5の倍数ではない自然数の個数)

=(3の倍数)+(4の倍数)ー(3の倍数かつ4の倍数)ー(3の倍数かつ5の倍数)ー(4の倍数かつ5の倍数)+(3の倍数かつ4の倍数かつ5の倍数)

=667+500ー166ー133ー100+33

=801

よって、801個

 

二年生用問題

問題1

実数変数xについての方程式

x^3+(a-1)x-a^3-a^2+a=0

が2重解を持つとき、実数定数aの値を求めよ。

(解答)

与式の左辺にx=aを代入すると(左辺)= 0となる。 

よって左辺の式は(x-a)を因数に持つので、

x^3+(a-1)x-a^3-a^2+a=(x-a)(x^2+ax+a^2+a-1)

因数分解できる。

さらに、

x^2+ax+a^2+a-1

 x=aを代入しても0にならないことから、

x^2+ax+a^2+a-1=0は2重解を持つことがわかるので、

(判別式)= 0 を利用すると、

a^2-4(a^2+a-1)=0

よって、a=\frac{2}{3},\ \ 2

 

問題2

 x<y<zを満たす自然数x,y,zに対し、以下の等式

\displaystyle \frac{y-z}{x}-\frac{2x-z}{y}+\frac{2x-2y}{z}=-1

が成り立っています。

このときzは偶数であることを示せ。

(解答)

\displaystyle \frac{y-z}{x}-\frac{2x-z}{y}+\frac{2x-2y}{z}=-1

この両辺にxyzを掛けて式を整理すると、

(x-y)(y-z)(z-2x)=0

因数分解できる。

x\ne y,\ \ y\ne zなので、z-2x=0 つまり z=2xとなる。

よって、x自然数なのでzは2の倍数、つまり偶数となる。

 

 

三年生用問題

問題

今私たちは森の中にいます。

この森には、井戸とリンゴの木とモモの木がそれぞれ一つずつあります。

そして以下のようなメモが発見されました。

 

井戸からリンゴの木に向かってまっすぐ進みリンゴの木まで行き、そこから右に90度曲がり同じ距離だけまっすぐ進み、そこに杭を打て。

井戸からモモの木に向かってまっすぐ進みモモの木まで行き、そこから左に90度曲がり同じ距離だけまっすぐ進み、そこに杭を打て。

2本の杭の真ん中に宝がある。

 

その森にはリンゴの木とモモの木はあったが、井戸は砂に埋まってしまい影も形もなかった。

 

問.   さて、ここで問題です。私たちは宝を発見することができるでしょうか。複素平面を利用し、発見することができるならできる理由を、発見することができないならできない理由を説明しなさい。

(解答)

まず複素平面上を考え、リンゴの木を[z=0]、モモの木をw=a、井戸をe=x+iy (i=\sqrt{-1},\ \ z,w,e \in \mathbb{C})の位置とする。

条件から杭を打つ位置は

P=e \times i

Q=(e-w)(-i)+w

である。

よって\frac{P+Q}{2}=\frac{a}{2}+i\frac{a}{2}となるので、

宝はリンゴの木(点R)とモモの木(点M)を結ぶ線分を斜辺に持つ直角三角形RMTを、リンゴの木からモモの木を見た時の左側に作ったときの点Tの位置にある。

 

 お疲れ様でした。。。。