式の展開と因数分解、二項定理

パート1

次の式を展開せよ。

(1)(2x-3)^3

(2)(-3x+5)^4

パート2

(1)(a-3b)^6の展開式で、a^5bの項の係数を求めよ。

(2)(x^2-\displaystyle \frac{2}{x} )^6の展開式で、x^6の項の係数を求めよ。

パート3 

(1)(1+x+x^2)^8の展開式で、x^4の項の係数を求めよ。

(2)(x+2y+3z)^4の展開式で、x^2yzの項の係数を求めよ。

(3)(x+\displaystyle \frac{1}{x^2}+1)^5の展開式における定数項を求めよ。

 パート4

(1){}_{n}\mathrm{C}_{0}{}_{n}\mathrm{C}_{1}{}_{n}\mathrm{C}_{2} + \cdots +{}_{n}\mathrm{C}_{r} + \cdots + {}_{n}\mathrm{C}_{n} = 2^n成り立つことは証明せよ。

事象と確率

レベル1

次の確率を求めよ。

(1)2枚のコインを投げるとき、どちらも面となる確率を求めよ。

(2)2個のサイコロを投げるとき、目の和が奇数になる確率を求めよ。

レベル2

(1)a3個、c2個、d1個を横一列に並べるとき、真ん中に母音が来る確率を求めよ。

(2)男子5人、女子2人が手を繋いで輪を作るとき、女子2人が隣り合う確率を求めよ。

レベル3

(1)2人で1回じゃんけんをするとき、勝負が決まる確率を求めよ。

(2)3人でじゃんけんをするとき、あいこになる確率を求めよ。

レベル4

30本のくじの中に何本かの当たりくじが入っている。この中から同時に2本引くとき、1本が当たり、1本がはずれる確率 が\displaystyle \frac{12}{35}であるという。当たりくじは何本あるか。

集合の要素の個数

レベル1

100から200までの整数がある。その中で次の整数の個数を求めよ。

(1)5かつ8の倍数

(2)5または8の倍数

(3)58の少なくとも一方で割り切れない整数

レベル2

100人の生徒に野球が好きか好きでないか、また得意か得意でないかをたずねた。好きと答えた生徒は43人、得意と答えた生徒は29人、好きでもなく得意でもないと答えた生徒は35人であった。

(1)野球が好きであり得意でもあると答えた生徒は何人か。

(2)野球は好きだが得意ではないと答えた生徒は何人か。

レベル3

全体集合Uとその部分集合ABに対して、n(U)=90n(A)=60n(B)=48とする。

(1)n( A \cap B)の最大値と最小値を求めよ。

(2)n(\overline A \cap B)の最大値と最小値を求めよ。

 

 

 

 

 

 

関数f(x)とそのグラフ

パート1

f(x)=2x-3のとき、次の値を求めよ。

 (1)f(-3)

(2)f(a+2)

パート2

次の点は、第何象限の点か答えよ。

(1)(-1,-5)

(2)(-3,2)

パート3

次の関数のグラフを書き、値域を求めよ。また、最大値、最小値があれば答えよ。

                         y=3x-4 \ \ (0 \leqq x \leqq 3)

 

次の関数の地域が (3 \leqq x \leqq 5)のとき、定数a bの値を求めよ。

                 y=ax+b\ \ (1 \leqq x \leqq 2)

パート4

次の関数のグラフをかけ。

(1)y=|x-2|

(2)y=|x+1|+|x-3|

 

 

パート5

[x]はxを超えない最大の整数を表すものとする。[\ \ ]はガウス記号と呼ばれる。

(1)[2.3]

(2)[-\sqrt{3}]

 (3)関数  y= [x]    (-3 \leqq x \leqq 2 )のグラフをかけ。