第1回 数学問題チャレンジ 解答

一年生用問題

問題1

次の式を因数分解せよ。

adg^2+beg^2+afg^2+cfg^2+cdg^2+aeg^2+bfg^2+ceg^2+bdg^2

(解答)

adg^2+beg^2+afg^2+cfg^2+cdg^2+aeg^2+bfg^2+ceg^2+bdg^2

=(ad+be+af+cf+cd+ae+bf+ce+bd)g^2

={(d+e+f)a+(d+e+f)b+(d+e+f)c}g^2

=(a+b+c)(d+e+f)g^2

問題2

集合:U=\{1,2,3,\cdots,2001 \} とする。

(1)Uの要素の中に4の倍数の自然数はいくつ存在するか。

(解答)

2001\div 4=500 あまり 1

よって、500個

 

(2)Uの要素の中に3の倍数の自然数はいくつ存在するか。

(解答)

2001\div 3=667 

よって、667個

 

(3)Uの要素の中に5の倍数の自然数はいくつ存在するか。

(解答)

2001\div 5=400 あまり 1

よって、400個

 

(4)Uの要素の中に、3または4の倍数であって5の倍数ではない自然数はいくつ存在するか。

(解答)

(3または4の倍数であって5の倍数ではない自然数の個数)

=(3の倍数)+(4の倍数)ー(3の倍数かつ4の倍数)ー(3の倍数かつ5の倍数)ー(4の倍数かつ5の倍数)+(3の倍数かつ4の倍数かつ5の倍数)

=667+500ー166ー133ー100+33

=801

よって、801個

 

二年生用問題

問題1

実数変数xについての方程式

x^3+(a-1)x-a^3-a^2+a=0

が2重解を持つとき、実数定数aの値を求めよ。

(解答)

与式の左辺にx=aを代入すると(左辺)= 0となる。 

よって左辺の式は(x-a)を因数に持つので、

x^3+(a-1)x-a^3-a^2+a=(x-a)(x^2+ax+a^2+a-1)

因数分解できる。

さらに、

x^2+ax+a^2+a-1

 x=aを代入しても0にならないことから、

x^2+ax+a^2+a-1=0は2重解を持つことがわかるので、

(判別式)= 0 を利用すると、

a^2-4(a^2+a-1)=0

よって、a=\frac{2}{3},\ \ 2

 

問題2

 x<y<zを満たす自然数x,y,zに対し、以下の等式

\displaystyle \frac{y-z}{x}-\frac{2x-z}{y}+\frac{2x-2y}{z}=-1

が成り立っています。

このときzは偶数であることを示せ。

(解答)

\displaystyle \frac{y-z}{x}-\frac{2x-z}{y}+\frac{2x-2y}{z}=-1

この両辺にxyzを掛けて式を整理すると、

(x-y)(y-z)(z-2x)=0

因数分解できる。

x\ne y,\ \ y\ne zなので、z-2x=0 つまり z=2xとなる。

よって、x自然数なのでzは2の倍数、つまり偶数となる。

 

 

三年生用問題

問題

今私たちは森の中にいます。

この森には、井戸とリンゴの木とモモの木がそれぞれ一つずつあります。

そして以下のようなメモが発見されました。

 

井戸からリンゴの木に向かってまっすぐ進みリンゴの木まで行き、そこから右に90度曲がり同じ距離だけまっすぐ進み、そこに杭を打て。

井戸からモモの木に向かってまっすぐ進みモモの木まで行き、そこから左に90度曲がり同じ距離だけまっすぐ進み、そこに杭を打て。

2本の杭の真ん中に宝がある。

 

その森にはリンゴの木とモモの木はあったが、井戸は砂に埋まってしまい影も形もなかった。

 

問.   さて、ここで問題です。私たちは宝を発見することができるでしょうか。複素平面を利用し、発見することができるならできる理由を、発見することができないならできない理由を説明しなさい。

(解答)

まず複素平面上を考え、リンゴの木を[z=0]、モモの木をw=a、井戸をe=x+iy (i=\sqrt{-1},\ \ z,w,e \in \mathbb{C})の位置とする。

条件から杭を打つ位置は

P=e \times i

Q=(e-w)(-i)+w

である。

よって\frac{P+Q}{2}=\frac{a}{2}+i\frac{a}{2}となるので、

宝はリンゴの木(点R)とモモの木(点M)を結ぶ線分を斜辺に持つ直角三角形RMTを、リンゴの木からモモの木を見た時の左側に作ったときの点Tの位置にある。

 

 お疲れ様でした。。。。

第1回 数学問題チャレンジ

みなさんこんにちは。

数学問題チャレンジの世界へようこそ。

ここでは、景品をかけて皆様に今まで学習してきた数学の成果を発揮してもらい、数学に関わりより興味を持ってもらうことを目的としています。

景品をもらえるのは一部の方(才能は関係ない)ですが、問題にチャレンジするだけでもすごく意味のあることです。

  • 景品は電子マネー1500円分です! 当選者には欲しい電子マネーの種類(amazoniTunes、googleplayなど)を選んでもらいます。
  • 当選者の選び方ですが、問題正解者の中から、こちらがくじ引きで一人選びます。また、こちらが特に面白いと思った解き方や回答があればその人も当選者にしたいと思います。※くじ引きの当選者と面白い解き方や回答の当選者は被らないようにします。
  • 出題範囲は以前ツイートしましたが、1年生(数Ⅰ:1次不等式まで、数A:確率まで)、2年生(数Ⅰ、数A、数Ⅱ:複素数と方程式まで)、3年生(数Ⅰ、数A、数Ⅱ、数B、数Ⅲ複素数平面まで)です。習っていないところが出ないように考慮しています。
  • 期限は約一週間で、2017年5月28日の23時59分59秒までです。
  • 答えは5月29日から31日の間にツイッターで公表します。
参加条件
  1. ツイッターアカウントのフォローしていること。
  2. さっきのツイートのリツイートしていること。
ルール
  1. どの学年のもので挑戦しても良い。
  2. 必ずツイッターのDMで回答し、どの学年のものを解いたのか最初に記すこと。
  3. 回答DMで文字を打っても、回答を書いた紙を写真で撮ってDMで送っても構いません。回答は答えだけでも構いませんが、その場合は面白い解き方や回答の当選者にはなれません。

 問題 

1年生用問題

2年生用問題

3年生用問題

 

 

 

 

 

30年の実績!

3年生用問題

3年生用は以下の大問1つだけです。実績

問題

今私たちは森の中にいます。

この森には、井戸とリンゴの木とモモの木がそれぞれ一つずつあります。

そして以下のようなメモが発見されました。

 

井戸からリンゴの木に向かってまっすぐ進みリンゴの木まで行き、そこから右に90度曲がり同じ距離だけまっすぐ進み、そこに杭を打て。

井戸からモモの木に向かってまっすぐ進みモモの木まで行き、そこから左に90度曲がり同じ距離だけまっすぐ進み、そこに杭を打て。

2本の杭の真ん中に宝がある。

 

その森にはリンゴの木とモモの木はあったが、井戸は砂に埋まってしまい影も形もなかった。

 

問.   さて、ここで問題です。私たちは宝を発見することができるでしょうか。複素平面を利用し、発見することができるならできる理由を、発見することができないならできない理由を説明しなさい。

 

2年生用問題

2年生用は以下の大問2つです。実績

問題1

実数変数xについての方程式

x^3+(a-1)x-a^3-a^2+a=0

が2重解を持つとき、実数定数aの値を求めよ。

問題2

 x<y<zを満たす自然数x,y,zに対し、以下の等式

\displaystyle \frac{y-z}{x}-\frac{2x-z}{y}+\frac{2x-2y}{z}=-1

が成り立っています。

このときzは偶数であることを示せ。

1年生用問題

1年生用は以下の大問2つです。実績

問題1

次の式を因数分解せよ。

adg^2+beg^2+afg^2+cfg^2+cdg^2+aeg^2+bfg^2+ceg^2+bdg^2

問題2

集合:U=\{1,2,3,\cdots,2001 \} とする。

(1)Uの要素の中に4の倍数の自然数はいくつ存在するか。

(2)Uの要素の中に3の倍数の自然数はいくつ存在するか。

(3)Uの要素の中に5の倍数の自然数はいくつ存在するか。

(4)Uの要素の中に、3または4の倍数であって5の倍数ではない自然数はいくつ存在するか。

1次不等式

パート1

次の不等式を解け。

(1)6x-24>3x

(2)-7x \leqq 21

(3)3(x-1) \geqq 2(5x+4)

(4)\displaystyle \frac{5x+1}{4}-\frac{2-3x}{3} \leqq \frac{1}{6x}+1

 パート2

次の連立不等式を解け。

(1) \begin{cases} 2x-3 \leqq 1-(x-5) \\ 5x-1 \leqq 8(x+1) \end{cases}

(2) -2x+1 \leqq 3x+4 \leqq 2(3x-4)

パート3

(1)不等式3x+4 \geqq 2(3x-4)を満たす自然数xの値を全て求めよ。

(2)不等式\displaystyle  x \leqq \frac{3a-2}{4}を満たす最大の整数値が3である とき、定数aの値の範囲を求めよ。

パート4

次の方程式または不等式を解け。(解なしあり)

(1)|x-1|=2

(2)|2x-6|=3

(3)|3x-10|=-1

(4)|x+3| \geqq 5

分数式の計算

パート1

(1),(2)の分数式を既約分数式にせよ。(3)の式を簡単にせよ。

(1)\displaystyle\frac{8ax^2y}{16a^3xy}

(2)\displaystyle\frac{x^2-7x+12}{2x^2+2x-40}

(3)\displaystyle\frac{a-\frac{1}{a}}{\frac{2}{a+1}-\frac{1}{a}}

パート2

次の式を計算せよ。

(1)\displaystyle\frac{8a^3c}{9yz^3}\times \frac{27xyz}{4abc^2}

(2)\displaystyle\frac{x^2+5x+4}{x^2+2x}\div \frac{x+4}{x}

(3)\displaystyle\frac{a+1}{a^22a-3}-\frac{x}{x^2-9}

(4)\displaystyle\frac{1}{(a+1)(a+3)}+\frac{a+3}{a+5}+\frac{a+5}{a+7}

(5)\displaystyle\frac{z+1}{z+2}-\frac{z+2}{z+3}-\frac{z+3}{z+4}+\frac{z+4}{z+5}